BANQUES ET MONNAIE, PARTIE III

jeudi 26 juillet 2012, par Fredelas

Pour comprendre les exemples 3 et 4 de mon précédent article, nous devons revenir sur la notion de taux d’intérêts.

Nous avons vu qu’un taux d’intérêts est la fraction d’un capital emprunté, sur une durée fixée conventionnellement une fois pour toutes, qui donne le montant du loyer à terme échu de l’argent prêté sur cette durée.

Il est généralement convenu que la durée de base qui sert à définir les taux d’intérêts est l’année.

Cependant, un taux d’intérêts donné peut s’exprimer en fraction de capital prêté sur d’autres durées que la durée de base. On est ainsi amené à la question centrale suivante : si on change de durée conventionnelle de base, quel taux d’intérêts sur cette nouvelle durée est-il équivalent au taux donné au départ sur la durée de base initiale ?

Concrètement, par exemple : quel taux d’intérêts mensuels est-il rigoureusement équivalent à un taux d’intérêts annuel donné au départ ?

Ainsi, j’ai commencé cette série d’articles en annonçant qu’un taux de 12% par an n’est nullement équivalent à un taux de 1% par mois. C’est cela qu’il faut absolument comprendre si on désire s’initier au B-A-BA de la finance.

La question n’est pas du tout évidente, je l’illustre en donnant la réponse :

Un taux de 12% par an équivaut à un taux de 0,009488792935......% par mois.

Comme je suis conscient que l’explication honnête est aride, je vais d’abord la justifier en montrant , sur deux exemples, les conséquences d’une erreur entre 1% par mois et le vrai taux mensuel indiqué ci-dessus (exemple 5), et celles d’une erreur entre 0,5% par mois et le vrai taux mensuel correspondant à un taux annuel de 6% (exemple 6).

Exemple 5

Un particulier, pour construire sa maison, emprunte 180 000 euros sur 15 ans au taux de 12% l’an. Il rembourse mensuellement, selon un crédit amortissable, en échéances constantes et non révisables.

Lorsqu’on applique le calcul correct, qui donne un taux mensuel de 0,009488792935......, on trouve que le montant des échéances est 2089,78 euros. Mais si on recalcule ce montant en considérant que le taux mensuel est de 1%, alors le montant des échéances sera 2160,30 euros. La différence est 70,52 euros par mois, soit sur la totalité du contrat, un surcoût de 70,52 multiplié par 180=12693,60 euros. Donc sur ce seul contrat, le prêteur gagnera indûment 12693,60 euros.

Mais il y a pire : supposons que cet emprunteur désire rembourser par anticipation le soir du dernier jour du 144 ième mois.
Le calcul correct de son capital restant dû, tenant compte de la bonne valeur du taux mensuel, montre qu’il devra, pour se libérer de l’emprunt, payer 63476,47 euros. Mais si on calcule ce capital restant dû en utilisant le taux de 1% par mois, on obtient 65041,32 euros, donc 1564,85 euros de plus. Ce trop-perçu du prêteur se rajoutera au trop-perçu des intérêts payés jusqu’au 144ième mois. Ce dernier trop-perçu est 70,52 multiplié par 144=10154,88 euros. Au total, l’emprunteur aura été spolié d’un trop-perçu égal à 11719,73 euros, c’est-à-dire, tout de même, de 6,51% du capital emprunté !

Si le prêteur pousse son avantage en vous demandant, pour remboursement anticipé, la pénalité légale que lui accorde la loi (eh oui, la loi permet de ’’punir’’ par une ’’pénalité’’ financière ceux qui remboursent par anticipation !), c’est encore mieux. La loi permet en effet de prélever la pénalité égale au minimum entre 3% du capital restant dû et trois mois d’intérêts de ce capital restant dû. En l’espèce, 3% du capital restant dû (calculé avec le taux faux, bien entendu) =1951 euros. Et trois mois d’intérêts de ce même capital restant dû font 1970,82 euros. Donc l’emprunteur devra 1951 euros. En tout, il aura financé un surcoût de 1951+11719,73 euros, soit 13670,73 euros, c’est-à-dire 7,6% du capital initial emprunté, ou encore, 21,54% du vrai capital restant dû !!!

Fin de l’exemple 5.

Exemple 6 : le même que l’exemple 5 mais avec un taux annuel de 6%. Le vrai taux mensuel correspondant est 0,4867550565....%. ; Le faux taux mensuel est 6% divisé par 12, soit 0,5%.

On a donc un emprunt de 180 000 euros à 6% l’an sur 15 ans, remboursé par crédit amortissable à mensualités constantes et non révisables.

Calcul correct de la mensualité : 1503,53 euros. Calcul faux (avec 0,5% mensuels) : 1518,94 euros. Différence : 15,41 euros mensuels. Trop-perçu avec calcul faux cumulé sur tout le contrat : 15,51 multiplié par 180=2774,21 euros.
Remboursement anticipé au 144ième mois, capital restant dû :

Avec le bon calcul : 49539,73 euros.

Avec le calcul faux (=0,5% mensuels) : 49929,18 euros. Trop-perçu par le prêteur : si calcul faux, compte tenu des intérêts déjà versés en trop : 389,45+2219,04=2608,49 euros hors pénalité.

Si remboursement avec pénalité : pénalité 752,69 euros, donc total du trop-perçu dans ce remboursement anticipé : 752,69+2608,49=3361,18 euros.

Fin de l’exemple 6

Avouez que cela vaut la peine de se donner un peu de mal pour s’instruire !

Venons-en maintenant à l’explication la plus importante de tout l’exposé. Nous revenons à l’exemple 4, où un particulier avait emprunté 10 000 euros sur un an à 10% annuels et désirait rembourser en deux échéances égales, la première à 6 mois, et la seconde et dernière à 12 mois. Il s’agissait de calculer le montant correct des échéances.

Commençons par une remarque : si l’emprunteur rembourse tout d’un coup au bout d’un an, il doit 10% d’intérêts, soit 1000 euros, plus le capital, soit 10 000 euros. Donc il doit 11000 euros. Pour calculer ce capital dû, il suffit de multiplier le capital emprunté (10000) par le facteur 1,1, qui est la somme de 1 et du taux d’intérêts annuel, qui est 0,1. Ce fait est bien évidemment général : si le taux d’intérêts annuel est t, et si le capital emprunté est C, remboursable au bout de un an avec intérêts, la somme C’ due au bout d’un an est égale à C multiplié par le facteur 1+t. retenons cette formule :

C’= (1+t) C

Maintenant nous désirons rembourser en deux échéances égales, la première à six mois et la dernière à un an. Chaque échéance comprendra une partie d’amortissement (c’est-à-dire de remboursement du capital) et une partie d’intérêts. D’après le principe 3, la première échéance doit purger l’intérêt dû depuis le départ du prêt. C’est un intérêt sur six mois. Nous devons donc comprendre quel est le taux d’intérêts semestriel qui correspond à un taux annuel de 10%. Soit t ce taux pour l’instant inconnu.

Supposons dans un premier temps, que l’emprunteur rembourse tout en une fois, à 12 mois, donc il versera 11000 euros. Au bout de six mois, il aura contracté une dette d’intérêts égale à t multiplié par C, où C désigne son capital emprunté (ici, C=10000 euros). Donc s’il voulait rembourser tout à ce moment-là, il devrait un capital total de C_1=(1+t)C. Mais comme il ne paie pas, il est reparti pour un nouveau semestre de six mois, et comme le taux semestriel est t, au douzième mois, il devra la somme C’=(1+t)C_1. On a :

C’=(1+t)C_1=(1+t)(1+t)C= C(1+t)^2

Mais nous savions déjà ce qu’il doit en tout, en payant tout d’un seul coup à douze mois, il doit le taux d’intérêts annuel de 10% plus le capital, soit 11000=(1+0,1)C. On a donc

C’=1,1 C= C(1+t)^2, donc 1,1 C=(1+t)^2 C, donc C(1,1-(1+t)^2)=0

Comme C>0, on en déduit : 1,1-(1+t)^2=0 ; c’est-à-dire :

(1+t)^2=1,1=1+i, où i désigne le taux d’intérêts annuel.

Comme 1+t >0, on en déduit que 1+t est nécessairement la racine carrée de 1+i. Donc 1+t=sqrt(1+i) (où ’’sqrt’’ signifie : racine carrée de), d’où la formule :

t=sqrt(1+i)-1

Cette formule est générale, elle vaut quelle que soit la valeur du taux d’intérêts annuel i. Dans notre exemple, on a i=1,1, donc

t= sqrt(1,1)-1, ce qui, après calcul avec une bonne calculette scientifique, donne : t=0,04880884817....

Par suite, la somme due au bout de six mois si l’emprunteur voulait tout rembourser à ce moment-là serait tout simplement C_1=(1+t)C=10000 multiplié par 1,04880884817...., soit 10488,09 euros. Fin de notre premier temps.

Maintenant, voyons à combien se monteront les deux échéances égales à six mois et à un an si l’emprunteur entend rembourser en deux fois à ces dates, par sommes égales.
Au départ, nous ignorons le montant de ces échéances, notons—le donc y. On sait que y devra couvrir au minimum l’intérêt dû à six mois, c’est-à-dire 488,09 euros. Donc y ≥ 488,09. N’oublions pas que l’emprunteur doit, juste avant de payer y, la somme C_1=C(1+t)=10488,09 euros et que cette somme, au moment de payer y, est devenue un capital.
Une fois réglé y, l’emprunteur devra encore C_1-y. Cette somme va produire, tout le second semestre, un intérêt de t multiplié par C_1-y, et la seconde échéance y devra couvrir exactement la somme de C_1-y et de cet intérêt.

On aura donc :

y=(1+t)(C_1-y)=(1+t)((1+t)C-y)=(1+t)^2 C-(1+t)y

Cette équation se simplifie en faisant passer tous les termes en y au premier membre, ce qui donne :

(2+t) y=(1+t)^2 C, donc, en divisant par 2+t :

y=((1+t)^2/(2+t)) C

En remplaçant les lettres par leur valeur numérique, et en tenant compte que (1+t)^2=1,1, cela donne :

y=(1,1/(2+t)) multiplié par 10 000=1,1/(2,04880884817.... )) multiplié par 10 000 =5368,973299..... euros

La réponse à notre exemple 5 est donc : pour s’acquitter de sa dette en deux échéances égales, notre emprunteur devra payer, à chaque échéance (en arrondissant selon la loi), la somme de 5368,97 euros.

Nos lecteurs conviendront que la démonstration n’a rien d’évident. Cette difficulté est du miel pour les financiers peu scrupuleux. En effet, les commis qui vont au contact de la clientèle (= les emprunteurs) ne sauraient pas plus que vous refaire, ou faire, cette démonstration. ils ont beau jeu de vous dire : ’’mais rassurez-vous, on a des logiciels pointus qui calculent tout au centime près, c’est comme ça et il est inutile de comprendre, encore moins de contester’’.
Le client lambda est évidemment dans l’incapacité absolue de vérifier par lui-même les résultats que donnent ces fameux logiciels. Il est par nature inquiet, inquiet qu’on ne lui prête pas s’il se permet de discuter. Le client accepte donc tout dans l’écrasante majeure partie des cas. Si le prêteur commet des erreurs, volontaires ou non, le client ne les décèlera jamais. S’il les décelait, les prêteurs ont toute une armada d’avocats pour les défendre. Le client a aussi peur des huissiers et des avocats que des mystérieux logiciels qui lui disent ce qu’il doit payer. Il est contraint, mieux qu’avec des chaînes, de faire confiance aux prêteurs.

Hélas, nombre de prêteurs ne sont pas dignes de cette confiance forcée. C’est pourquoi la seule révolution sérieuse est celle de l’instruction, de la vraie, pas la bouillie de chat actuelle. La vraie instruction est celle qui permet de discuter d’égal à égal avec les prêteurs. Ces derniers n’ont pas peur, mais alors pas peur du tout, des révolutionnaires à la Mélenchon, qui seraient incapables de comprendre quoi que ce soit à un tableau d’amortissement classique.
L’Histoire leur a déjà tant de fois donné raison ! prenez les communards de 1871 par exemple : désespérés de la défaite française, ils furent au départ animés d’une volonté farouche de résister jusqu’au dernier pour retourner la situation. Tous ceux qui connaissent notre Histoire se souviennent de Gambetta et de son escapade en ballon, puis de Bourbaki et ses pauvres soldats crevant de faim, de froid, plus mal habillés encore que les sans-culottes. Nos brav’révolutionnaires s’imaginaient qu’ils allaient refaire 93, qu’il suffirait de soulever le peuple et de refaire un nouveau Comité de Salut Public pour repousser les envahisseurs, ah là là ! les pauvres ! que leur est-il arrivé ? ils avaient besoin d’armes et de vêtements, de chaussures....les financiers et les munitionnaires s’en sont donnés à coeur joie. Ils leur ont vendu de mauvais fusils dix fois leur prix, de tristes vêtements vingt fois leur prix, leur ont collé des dettes accablantes calculées au quart de poil mais avec des intérêts usuraires effrayants, des intérêts que les contribuables français ont payés rubis sur l’ongle, défaite oblige...avant de repayer l’indemnité de guerre formidable de cinq milliards de francs-or exigée par Bismarck, ah Hitler a été moins con, lui, au lendemain du 7 mars 1936, après avoir réussi son coup d’envahir la rive gauche du Rhin au-delà de Karlsruhe, il a proclamé, narquois, qu’il ne devait rien de rien des Réparations prévues au Traité de Versailles.....ces munitionnaires et agioteurs, donc, n’avaient certes pas peur que Gambetta et ses amis, pressés par des besoins urgents, contestent les prix, les taux, les méthodes de calcul (leur culture personnelle, toute littéraire quand elle existait, ne leur permettait pas de contester quoi que ce soit....) Thiers, lui, était rompu depuis cinquante ans aux moeurs, calculs et subtilités des financiers européens. C’était un interlocuteur sérieux, qui savait compter. Aucun des révolutionnaires à la Mélenchon de l’époque n’a fait le poids. Tout ça s’est terminé comme on sait à Versailles, dans un bain de sang franco-français à pleurer, car dans les victimes rescapées ou non (rescapés déportés en Nouvelle-Calédonie), il n’y avait pas que des méchantes gens, loin de là : il y avait des générosités magnifiques, du patriotisme simple et fort (rien à voir avec l’internationale communiste donc), il y avait de la bonne foi, et on a envoyé ad patres trop de gens qui auraient pu, s’ils avaient vécu, honorer et servir si utilement leur pays, le nôtre....certes, la Commune de Paris n’a rien à voir avec les terroristes à la Babeuf, Saint-Just, Robespierre, Couthon et consorts, rien à voir non plus avec les communistes staliniens qui publiaient des odes à la gloire de Staline et Hitler dans l’Huma clandestine d’août 1939 jusqu’au début juin 1941, et qui avaient saboté les armes de nos soldats allés mourir en masse en mai 1940 entre Sedan et Dunkerque....cette Commune est un crèvecoeur de bout en bout....

Donc je disais que les prêteurs n’ont absolument pas peur des révolutionnaires à la Mélenchon. Mais ils ont peur de la véritable instruction, parce que celle-là fait la vraie révolution, celle qui permet au plus grand nombre de ne plus avoir peur des agioteurs sans scrupules, d’exiger d’eux l’honnêteté, rien que cela, mais totalement cela. Celle qui ne lancera pas contre eux d’anathèmes aussi irrationnels qu’inefficaces et dérisoires, mais qui sera capable de discuter au millimètre près leurs contrats.

C’est pourquoi je vous invite, chers lecteurs, à lire la suite de cette modeste étude, qui vous montrera comment bien lire un tableau d’amortissement d’emprunt, et qui vous montrera sur des exemples concrets les petits grattages peu honnêtes de certains prêteurs. Grattages en toute sécurité, avec en plus la loi pour eux---du moins pour l’instant---

FREDELAS

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