BANQUES ET MONNAIE, PARTIE IV
mardi 31 juillet 2012, par
Préambule mathématique
Je sais que les puissances fractionnaires rebutent beaucoup de monde. Déjà les puissances entières en larguent une bonne partie, surtout avec des exposants entiers négatifs, mais les puissances fractionnaires restent hermétiques à trop de gens. Pourtant c’est à la portée de tous les humains de bonne volonté douées du bon sens cartésien. (Ici une parenthèse socio-philosophique : contrairement à ce d’aucune ont enraciné dans la tête du public, la science mathématique, dans ses bases usuelles, est la plus démocratique du monde. Laisser croire le contraire est mépriser ses semblables).
Je vais essayer de rendre la chose populaire. On commence petit : un nombre a multiplié par lui-même un certain nombre de fois, disons n fois, donne un autre nombre, appelé puissance nième de a, et noté a^n. On convient que a^0=1 dans tous les cas, y compris si a=0. Si a est non nul, alors a^n est aussi non nul et son inverse est noté a^(-n). N’importe qui est capable de vérifier que pour tous entiers m et n et tout nombre a, on a : a^m multiplié par a^n=a^(m+n) (ce qui s’écrit = (a^m)(a^n)=a^(m+n) ). Cela s’étend sans problème à des entiers de signe quelconque, positif ou négatif. Si a>0, alors quel que soit l’entier n (positif ou négatif), on a a^n>0.
Maintenant on s’intéresse à l’opération inverse, mais pour des raisons de simplicité, on se borne à des nombres positifs. Si on donne un entier n et un nombre quelconque positif a, alors on démontre qu’il existe un et un seul nombre r positif qui vérifie r^n=a. ce nombre r s’appelle la racine n-ième de a. La racine 2-ième s’appelle la racine carrée, la racine troisième s’appelle la racine cubique. La racine carrée d’un nombre a se note souvent sqrt(a). Par exemple, sqrt(4)= 2, et sqrt(9)=3. Mais mais le nombre sqrt(2) ne peut pas être écrit avec toutes ses décimales vu qu’il y en a une infinité et qu’on ne connaît pas la loi qui permet de savoir quel chiffre occupera un rang donné à l’avance dans cette écriture décimale. Donnons-en les premières décimales : sqrt(2)=1,414213562......
Nous ne pouvons pas ici démontrer l’existence, affirmée ci-dessus, de la racine n-ième d’un nombre réel positif quelconque. Cependant si quelqu’un de nos lecteurs désirait lire des idées simples, à la portée de tout le monde, sur cette démonstration, il n’a qu’à demander, je les lui donnerais dans ma réponse.
La racine n-ième d’un nombre positif a se note a^(1/n). Ainsi, d’après les définitions, on a : (a^(1/n))^n=a.
Nous désirons à partir de là donner un sens à a^b lorsque b est un nombre rationnel, c’est-à-dire exprimable comme un quotient de deux nombres entiers (le dénominateur étant non nul). La propriété de base pour cela est la suivante : soit a un nombre positif quelconque et soit p et q deux entiers, avec q non nul. Alors on a : (a^(1/q))^p=(a^p)^(1/q). Pour le démontrer, posons r=a^(1/q). Il s’agit de prouver que r^p=(a^p)^(1/q). On a :
((a^p)^(1/q))^q=a^p=(r^q)^p=r^(pq)=(r^p)^q, donc par unicité de la racine q-ième, r^p est la racine q-ième de a^p. Ce qui s’écrit : (a^p)^(1/q)=(a^(1/q))^p, ce qu’il fallait démontrer. Ce résultat s’exprime ainsi : pour un nombre positif quelconque, les opérations d’élévation à une puissance entière p et d’extracfion de la racine q-ième peuvent être effectuées dans l’ordre que l’on veut, elles aboutissent au même résultat. On dit que ces opérations commutent.
A cause de ce résultat fondamental, il n’y a aucun inconvénient à écrire la valeur commune des nombres (a^(1/q))^p et (a^p)^(1/q) sous la forme simplifiée a^(p/q).
A partir de là, on peut jouer avec les puissances fractionnaires exactement comme avec les exposants entiers, c’est-à-dire que les règles de calcul sur des exposants fractionnaires sont identiques à celles sur des exposants entiers.
Les règles principales sont (a^x)(a^y)=a^(x+y), et (a^x)^y=a^(xy). Avec ce qui précède, le lecteur curieux n’aura aucune peine à les vérifier. De plus, elles s’étendent aux exposants fractionnaires de signe quelconque, à partir de la règle a^(-x)= 1/(a^x). Il ne faut pas trop de surcroît de travail pour étendre ces règles de calcul des exposants fractionnaires à des exposants réels quelconques. Quand sera nécessaire, nous utiliserons ces extensions des calculs d’exposants à des exposants réels en admettant ’’intuitivement’’ que les règles de calcul restent les mêmes. Chacun peut comprendre que ces extensions se justifient par des processus de passage à la limite, à partir du constat que n’importe quel nombre réel peut être approché d’aussi près qu’on veut par des nombres rationnels (c’est-à-dire fractionnaires, i.e. quotients de deux nombres entiers).
Fin du préambule mathématique
Revenons maintenant à notre propos, la compréhension du mécanisme de l’intérêt des emprunts d’argent. Nous avons vu qu’un même taux d’intérêts peut être exprimé dans telle période qu’on voudra. Ainsi, un taux d’intérêts annuel correspond à un taux d’intérêts mensuel, ou hebdomadaire, ou journalier, ou bisannuel (périodes de deux ans). La pierre angulaire de tout est de comprendre comment on passe d’une période à une autre pour un même taux d’intérêts. C’est faute que le grand public comprenne cela que les usuriers rusés, depuis la nuit des temps, roulent leurs malheureux emprunteurs dans la farine.
Comparons la période mensuelle et la période annuelle pour un même taux d’intérêts. Pour simplifier, nous supposerons que l’année a douze mois égaux (l’erreur introduite par cette simplification est microscopique). Notons t_m le taux d’intérêts mensuel, t_a le taux annuel et t_b le taux d’intérêts bisannuel qui représentent tous trois le même taux d’intérêts. Considérons un capital emprunté C le premier janvier d’une certaine année.
Au bout de 1 mois, C sera devenu C_1=(1+t_m)C ; si nous arrêtons les comptes là, ce sera devenu un capital. Donc en le reprêtant au même taux, à la fin du deuxième mois, C_1 sera devenu C_2=(1+t_m)C_1=(1+t_m)((1+t_m)C=(1+t_m)^2C. En continuant ainsi, on voit qu’au bout de la première année, C sera devenu C’=(1+t_m)^(12) C. Mais d’après la définition de t_a, que est le taux d’intérêts équivalant à t_a mais calculé dans les périodes annuelles, on doit avoir C’=(1+t_a)C. Donc (1+t_m)^(12) C=(1+t_a)C, et en divisant par C, on obtient la relation :
1+t_a=(1+t_m)^(12)
D’après notre petit topo sur les puissances fractionnaires, cette relation s’exprime aussi sous la forme :
1+t_m=(1+t_a)^(1/12), qui donne :
(1) t_m=(1+t_a)^(1/12)-1
Soit t_j le taux d’intérêts journalier correspondant au taux annuel t_a. On suppose que l’année a 365 jours. En raisonnant comme ci-dessus, on voit que (1+t_j)^(365)=1+t_a, d’où :
(2) t_j=(1+t_a)^(1/365)-1
Maintenant nous sommes en mesure de comprendre pourquoi 12% par an n’égalent pas 1% par mois.
La vraie formule est (1), qui donne le taux mensuel t_m équivalent à 12% l’an :
t_m=(1,12)^(1/12)-1, ce qui, avec votre calculette scientifique en mains, va vous donner t_m=0,9488792935...%
Pour vous en convaincre, calculez le vrai taux annuel qui correspond à 1% mensuel. Il est donné par t_a=(1,01)^(12)-1, ce qui nous fait 12,68250301....% par an. La différence avec 12% l’an est énorme, 0,68% l’an, dans nos économies modernes, peut signifier des centaines de milliers de chômeurs en plus ! donc faire comme si 12% l’an égalait 1% par mois est de l’escroquerie pure et simple.
Pour ceux qui croiraient inutiles les nombreuses décimales dont on se sert souvent pour écrire des taux d’intérêts, considérons encore une fois notre taux d’intérêts fétiche, 12% l’an. Le taux journalier correspondant est donné par (2) :
t_j=(1,12)^(1/365)-1, ce qui, avec notre calculette, donne t_j=0,0310538% par jour. Permettons-nous un arrondi en remplaçant par t’_j=0,03% (là, on est au millième de pour cent près...). Calculons le taux d’intérêts annuel de ce nouveau taux d’intérêts journalier. On a alors le taux annuel t_=(1,0003)^(365)-1=11,57% l’an. La différence avec 12% l’an est encore une fois énorme, s’agissant de grandes banques qui manient des sommes pharamineuses. Voilà pourquoi les taux journaliers doivent être calculés avec une très grande précision. La marge d’erreur permise doit résister à l’élévation à des puissances de l’ordre de plusieurs centaines.
La loi qui permet de passer d’une période à l’autre pour un même taux d’intérêts peut s’écrire sous une forme élégante. Choisissons une unité de temps quelconque, qui, mesurée en années, vaudra h années. Donc une année vaudra , dans cette nouvelle unité, 1/h unités de temps (h peut être fractionnaire ou même réel quelconque).
Ecrivons le formule (1) sous la forme :
(3) (1+t_m)^(12)=1+t_a
En exprimant les durées de 12 années et 1 année dans cette nouvelle unité, ces durées vaudront respectivement p=12/h et q=1/h, donc 12=ph et 1=qh. Donc (3) s’écrit :
(4) (1+t_m)^(ph)=(1+t_a)^(qh), ce qui équivaut à
(5) ((1+t_m)^p)^h=((1+t_a)^q)^h
Et comme la racine h-ième d’un nombre positif est unique, on déduit de (5) :
(6) (1+t_m)^p=(1+t_a)^q
Le raisonnement serait identique avec des durées quelconques p et q au lieu de 12 et 1, ces durées étant mesurées dans n’importe quelle unité de temps. Notons respectivement t_p et t_q les valeurs d’un même taux d’intérêts dans une durée p et q. Alors on a :
(7) (1+t_p)^q=(1+t_q)^p
Par exemple, comparons les valeurs t_s et t_j d’un même taux d’intérêts mesurées sur des périodes respectives d’une semaine et d’un jour. On notera s la durée d’une semaine et j la durée de un jour, mesurées dans l’unité de temps qu’on voudra, que cette unité soit l’heure, la minute, le jour, l’année ou la seconde, peu importe. Alors on aura, d’après (7) :
(8) (1+t_s)^j=(1+t_j)^s
D’après le calcul des exposants fractionnaires (qui s’étend sans difficulté aux exposants réels quelconques), on déduit de (8) :
1+t_j=(1+t_s)^(j/s)
Comme j/s=1/7 (relation indépendante de l’unité de temps), cela donne :
(9) t_j=(1+t_s)^(1/7)-1
CEUX QUI AURONT COMPRIS CETTE PARTIE IV SAURONT JONGLER AVEC LES TAUX D’INTERETS MIEUX QUE LEURS BANQUIERS
Donnons un exemple de cette jonglerie. Un particulier emprunte C=10 000 euros au taux de 10% l’an. Le crédit est débloqué le 1er janvier 2012. Il décide de tout rembourser, intérêts et capital, le 17 juillet 2012. Combien doit-il donner à son prêteur au soir du 17/7/2012 ?
Solution :
comme 2012 est une année bissextile, février a 29 jours et l’année a 366 jours. Entre le matin du 1er janvier 2012, et le soir du 17 juillet 2012, il s’est écoulé 199 jours. Soit D le montant à rembourser au soir du 17 juillet. Soit t_j le taux d’intérêts journalier qui correspond au taux d’intérêts annuel de 10%. On a : 1+t_j=(1+0,1)^(1/366)=(1,1)^(1/366). D’autre part (composition des intérêts) :
D=(1+t_j)^(199)C. Donc
((1,1)^(1/366))^(199)=(1,1)^(199/366)
Une calculette scientifique donne : (1,1)^(199:366)=1,053187895....., donc :
D=(1,1)^(199/366)multiplié par 10 000, soit : D=10531,88 euros.
AUTRE EXEMPLE
Un particulier place de l’argent à sa banque sur un compte au taux annuel de 6%. Le 16 juillet 2012 à midi, il apporte en espèces une somme de C=25000 euros à sa banque. La banque lui explique que ses intérêts ne seront décomptés qu’à partir du 1er août à midi (’question de dates de valeur’’). De combien la banque lèse-t-elle ce client ?
Solution :
soit t_j le taux journalier correspondant à t_a=6% l’an. On a (parce que 2012 est une année bissextile) : 1+t_j=(1+t_a)^(1/366). Entre le 16 juillet 2012 à midi et le 1er août 2012 à midi, il s’écoule 16 jours. Donc entre le 16 juillet à midi et le 1er août à midi, le capital C est devenu C’=(1+t_j)^(16) C=(1+t_a)^(16/366)=(1,06)^(16/366). Sur notre calculatrice scientifique, on obtient : (1,06)^(16/366)=1,002550522. Donc C’=1,002550522 multiplié par 25000, ce qui donne : C’=25063,76 euros.
Donc la banque gagne 63,76 euros au détriment de son client.
Notons que ce dernier exemple n’est pas artificiel : toutes les banques font leurs comptes en taux d’intérêts journaliers (aucun problème, grâce aux moyens modernes de calcul). Elles savent donc à quoi s’en tenir, et pour elles les petits grattages sur les dates de valeur sont un bon moyen de se faire de petits revenus supplémentaires plus ou moins occultes sans avoir besoin de bosser pendant des heures supplémentaires.
DERNIER EXEMPLE
Un particulier attend une rentrée de 15000 euros pour le 10 juin 2012, sous forme d’un virement sur un de ses comptes bancaire. Sur ce compte, il est prélevé tous les 10 du mois d’une échéance de crédit de 2000 euros. Le 9 juin 2012 à zéro heure, son compte est à zéro, mais il vérifie que le virement est bien parti. Par suite de grèves, le virement n’est enregistré que le 14 juin 2012 à minuit. Sur son compte, il n’y a pas autorisation de découvert, et les agios sont facturés à 18% annuels.
Question 1 : combien d’agios doit facturer la banque à ce client ?
Question 2 : sachant que la banque sanctionne tout découvert par des ’’frais d’opération examinée’’ de 25 euros, et que la banque a prélevé ces frais sur le compte de son client avec date de valeur du 10 juin 2012, quel taux d’intérêts effectifs le client a-t-il supportés au total au soir du 14 juin 2012 ?
Solution :
Entre le 10 juin zéro heure et le 14 juin 24 heures, il s’est écoulé 5 jours pleins.
Question 1 :
la banque prélève 25 euros le 10 juin à zéro heure, qui est déjà débiteur de 2000 euros ; Donc le débit du compte ce10 juin à zéro heure est 25+2000=2025 euros.
en raisonnant comme dans l’exemple précédent, on voit que durant ces 5 jours, la somme S=2025 euros est devenue, aux taux annuel des agios de 18% l’an, la somme S’ donnée par :
S’=((1,18)^(5/366))S= 1,002263684...multiplié par S, soit : S’=2004,58 euros. Comme le découvert de 2025 euros est supprimé le 14 juin à 24 h, les agios dûs par le client sont donc de 4,58 euros. On note que sur ces agios, la fraction (25/2025) compte pour 0,05 euros. Autrement dit, le client supporte un agio sur la pénalité de 25 euros, certes peu important, mais suffisant pour être parfaitement visible. C’est l’agio sur la pénalité, qui rappelle irrésistiblement l’impôt sur l’impôt. Puisque le compte est maintenant devenu créditeur de presque 12970,42 euros, la banque peut prélever cette somme directement sur le compte.
Question 2 : Si la banque n’avait facturé aucun frais entre le 10 juin zéro heure et le 14 juin 24 heures, le découvert serait resté 2000 euros. Mais elle a facturé ces frais, de 25 euros au début des cinq jours et de 4,58 euros à la fin de ces ciDonc tout se passe comme si la banque avait prêté le découvert de 2000 euros pendant cinq jours mais avait prélevé, pour ce service,la somme totale de 29,58 euros le 14 juin à 24 heures, à terme échu des cinq jours.
Donc les intérêts perçus par la banque au soir du cinquième jour sont de 29,58 euros sur 2000 euros, donc la fraction 29,58/2000. Le lecteur qui m’a bien suivi en déduira aisément que le taux d’intérêts annuels t_a ainsi perçu par la banque sur ces 2000 euros de découvert est donné par :
(1+t_a)^(5/366)=2029,58/2000, donc
t_a=(2029,58/2000)^(366/5)-1
Après calculs avec notre chère calculatrice scientifique, cela donne : t_a=1,929114152, autrement dit :
t_a=192,114152 %
J’ai bien écrit : cent quatre vingt douze virgule 9114152 pour cent par an !!!! ce qui signifie : multiplication du capital prêté par 2,929114152 chaque année. Pour se faire une idée de ce taux d’intérêts annuel, 2,92^(10)>45063 ; autrement dit un capital prêté sans interruption à ce taux-là se multiplie par au moins 45063 tous les dix ans.....
Bien sûr, la loi interdit l’usure au-delà de 20% par an. Mais la banque est en règle avec la loi, puisque les 25 euros de pénalité ne sont pas un intérêt, ils sont une pénalité ! tout est dans le vocabulaire........dans ’’pénalité’’, il y a ’’pénal’’, donc ça s’analyse comme une sanction pénale, mais la différence, c’est que pour l’exécuter, donc pour percevoir le fruit de cette sanction, la banque n’a pas besoin d’attendre qu’un magistrat l’ait rendue exécutoire par un jugement, elle a le droit, Dieu sait pourquoi, de se servir la pénalité directement sur votre compte (redevenu créditeur depuis le 14 juin à 24 heures) comme s’il s’agissait de son argent à elle. En vertu de ce droit, la banque, dans l’affaire en cause, aux yeux de la loi, ne vous a pris que 4,58 euros d’agios, soit un taux d’intérêts annuel de ’’seulement’’ 18%.
Fin du dernier exemple de cette partie IV
Chers lecteurs, dans la partie V, nous étudierons quelques exemples de plus, et je vous démontrerai PAR L’EXEMPLE que la vraie révolution (au sens de : faire reculer l’injustice et avancer l’honnêteté) se fait par l’instruction et seulement par elle. Si je vous ennuie, soyez assez aimable pour me le dire car écrire tout cela au clavier, sans me poser le moindre problème sur le fond, me prend quand même un certain temps......
3 Messages de forum
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